稳定性分析

稳定性分析计算周期轨道单值矩阵的特征值谱，以分类轨道稳定性。

Floquet 理论

周期轨道的稳定性由单值矩阵（monodromy matrix）的特征值决定。单值矩阵是一个周期的状态转移矩阵：

\[\mathbf{M} = \boldsymbol{\Phi}(T, 0)\]

其中 T 为轨道周期。特征值 λ 满足：

abs(λ) < 1：稳定方向
abs(λ) > 1：不稳定方向
abs(λ) = 1：中心方向（中性稳定）

由于 Hamiltonian 系统的辛结构，特征值成对出现：(λ, 1/λ)。

使用方法

StabilityAnalysis 分析单条周期轨道的稳定性：

from e2m2e.algorithm.stability import StabilityAnalysis

# 构造时传入轨道；orbit 关联了 system 时 dynamics 可省略
analyzer = StabilityAnalysis(orbit, dynamics)

# analyze() 不接受参数，返回不可变的 OrbitStability 结果对象
result = analyzer.analyze()

print(f"特征值: {result.eigenvalues}")
print(f"稳定性指数: {result.stability_indices}")
print(f"分类: {result.classification['stability_type']}")

analyze() 返回 frozen 数据类 OrbitStability，字段包括：

monodromy_matrix — 单值矩阵，形状 (6, 6)
eigenvalues — 单值矩阵特征值（Floquet 乘子）
stability_indices — 稳定性指数字典，键为 nu1/nu2/nu3/broucke
classification — 稳定性分类结果（含 stability_type、is_stable 等）
bifurcation — 分岔分析结果
numerical_errors — 数值误差估计

稳定性指标

稳定性指数采用 Broucke 定义：对每对倒数特征值 (λ, 1/λ) 求和取实部，

\[\nu = \lambda + \frac{1}{\lambda}\]

|ν| < 2：该模态稳定（特征值位于单位圆上）
|ν| > 2：该模态不稳定（ν 越大越不稳定）

stability_indices 字典给出各模态的 nu1/nu2/nu3，以及 broucke = |ν1| + |ν2|。特征值的最大模可从 classification["max_eigenvalue_magnitude"] 读取。

批量分析

对轨道族中每条轨道逐一分析：

from e2m2e.algorithm.stability import StabilityAnalysis

results = []
for orbit in family:
    result = StabilityAnalysis(orbit, dynamics).analyze()
    results.append(result)
    nu_max = max(v for v in result.stability_indices.values() if v is not None)
    print(f"周期={orbit.period:.4f}, 稳定性指数={nu_max:.6f}")

分岔检测

analyze() 返回的 bifurcation 字段由 analyze_bifurcation() 生成，根据特征值与 +1、-1 及单位圆的关系识别分岔类型（BifurcationType 枚举）：

特征值接近 +1 → 鞍结分岔（SADDLE_NODE）
特征值接近 -1 → 倍周期分岔（PERIOD_DOUBLING）
复特征值接近单位圆 → 环面分岔（TORUS）

对整个轨道族检测分岔点，使用静态方法：

# 遍历轨道族，返回特征值接近 +1 的分岔点列表
bifurcations = StabilityAnalysis.detect_bifurcation_in_family(
    orbits=family,
    dynamics=dynamics,
    tolerance=1e-8,
)

# 或直接定位最接近目标 x0 的分岔点，未找到时返回 None
bp = StabilityAnalysis.find_nearest_bifurcation(
    orbits=family,
    dynamics=dynamics,
    target_x0=0.85,
)

数值误差校验

单值矩阵由数值积分得到，numerical_errors 字段给出两项残差，用于校验积分精度是否足够：

determinant_error — |det(M) − 1|，辛矩阵行列式应恒为 1
symplectic_error — ‖MᵀJM − J‖ 的范数，辛性质残差

残差显著偏大时，应收紧积分容差后重新分析。

参考

Hairer E, Nørsett S P, Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations I, Chapter IV.8.
Howell K C. Three-dimensional, periodic, 'halo' orbits, 1983.